Boolean алгебра. логика алгебра. математикалық логика элементтері

Бүгінгі әлемде біз барған машиналар мен гаджеттер түрлі пайдаланып отырсыз. Ал ғана емес, ол сөзбе табиғаттан тыс күшке қолдану қажет болған кезде: және т.б. Автокөліктер бүгін, ұзақ және терең окоп қазып, биіктігі оны көтеру үшін жүктемені жылжыту роботтар жинау, азық-түлік Multivarki және бастауыш арифметикалық есептеулер калькуляторды өндіруге дайындалған ... Жиі біз фраза «Буль алгебрасын» естисіз. Мүмкін уақыт роботтар және машиналар құру математикалық, сонымен қатар ғана емес шеше білу жылы адам рөлін түсіну үшін келді логикалық мәселелерді.

логика

берілген жағдайларда арасындағы қарым-қатынас жасайды, және сіз болжамдар мен бағалаулар негізінде қорытынды жасауға мүмкіндік береді ой реттелген жүйесі - грек логика. Жиі, біз бір-бірімізді сұрағым: жауап біздің болжамдарды растайды немесе ой поезд сынға «үшін бұл қисынды». Бірақ бұл процесс аяқталған жоқ: біз айтуға жалғастыруда.

Кейде жағдайлар саны (енгізу) соншалықты үлкен болып табылады, және олардың арасындағы қарым-қатынас адам миының бірден барлық «дайджест» мүмкін емес, сондықтан шатасып және күрделі болып табылады. Сіз не болып жатқанын түсіну үшін бір ай (апта, жыл) артық қажет болуы мүмкін. Бірақ қазіргі заманғы өмір шешімдер қабылдауға бізге осы уақыт аралығы бермейді. Және біз компьютерлер көмекке жүгінеді. Ал бұл алгебра және логика оның заңдары мен қасиеттері бар, бар осы жерде. бастапқы деректер барлық жүктеу кейін, біз компьютер, барлық қарым-қатынас тану үшін қайшылықтарды жоюға және қанағаттанарлық шешім табуға мүмкіндік береді.

Математика және логика

Атақты Готфрид Вильгельм Leybnits міндеттері ғалымдар аз ғана шеңбер түсіну оңай болды, ол «математикалық логика» тұжырымдамасын тұжырымдалған. Атап қызығушылық тудыруы, және бірнеше белгілі математикалық логика ХІХ ғасырдың ортасына дейін емес, бағыты болып табылады.

ғылыми қоғамдастықтың үлкен қызығушылығын ағылшындық Dzhordzh Бюль мүлдем жоқ практикалық пайдалану ие емес, математика филиалын құру өзінің ниеті туралы мәлімдеді, онда дауды тудырды. біз белсенді өнеркәсіп өндірісін дамыту осы уақытта, тарихтан білетіндей, біз Т, қосалқы машиналар барлық түрлерін дамыған. E. Барлық ғылыми жаңалықтар практикалық бағытын болды.

математика ең бүгін әлемде пайдаланылатын бөлігі - алда қарап, біз булевой алгебра деп айтады. Сондықтан сіздің дәлел Buhl жоғалтты.

Dzhordzh Бюль

автордың жеке басын ерекше назар аударуға лайық. Тіпті өткен адамдар әлі ол Жохан 16 жылдары атап өткен жөн, біздің алдымызда өсті, деп. Buhl ауыл мектепте сабақ, және 20 жылға дейін Линкольн өз мектебін ашты. Фактіні ескере отырып, Математик мінсіз бес шетел тілдерін меңгерген, және оның қосалқы уақытта, Ньютон және Лагранж туындылары оқып отыр екен. Мұның бәрі - қарапайым қызметкердің ұлы туралы!

1839 жылы, Buhl Кембридж Mathematical Journal өзінің алғашқы ғылыми еңбектердің жіберді. Ғалым 24 жыл толды. Буля жұмысы 1844 жылы ол дамытуға қосқан үлесі үшін медаль алды, Корольдік қоғамының сондықтан мүдделі мүшелері болып табылады математикалық талдау. математикалық логика элементтері бірнеше жарияланған мақалалар, жас Тығын County колледжінде профессор лауазымына қабылдауға рұқсат математика сипатталған болатын. өте Буль білім деңгейінде емес екенін еске саламыз.

идея

Негізінде, Boolean алгебра өте қарапайым. Бар есептілігі (логикалық «шынайы» немесе «жалған»: математика тұрғысынан, тек екі сөзбен анықталуы мүмкін, бұл өрнектерді). көктемгі гүлденуі Мысалы, ағаш - бұл қар жазда ақиқат, - өтірік. математика сұлулық ол тек сандарды пайдалануға қатаң қажет емес болып табылады. алгебра пайымдаулар үшін өте ерекше мағынада кез келген мәлімдеме қиыстыру.

Осылайша, логика алгебра сөзбе барлық жерде пайдалануға болады: жоспарлау және жазу тапсырмасы, іс-шаралар және іс-шаралар кезектілігін айқындау туралы қайшы ақпарат талдау. ең бастысы - бұл біз есептіліктің шындықты немесе асырады анықтау қалай маңызы жоқ екенін түсіне. Осы «қалай» және «неге» сіз ескермеу керек. Іс жүзінде ғана мәлімдеме қандай мәселелер болып табылады: шындық өтірік.

әрине, тиісті белгілер мен нышандар жазылған алгебра логикасы ең маңызды функцияларды бағдарламалау. Және оларды үйренуге - бұл жаңа шет тілін үйренуге білдіреді. Ештеңе болмайды.

Негізгі түсініктер мен анықтамалар

тереңдігі ұшындағы, біз терминология ісі. Сондықтан, Boolean алгебра көздейді:

• есептілігі;
• логикалық операциялар;
• функциялары мен заңдар.

Есептілігі - екі мәнді түсіндіруге болады, кез келген берсе өрнек. Олар сандар (> 3 5) немесе тұжырымдалған таныс сөздер (- ірі сүтқоректілер Elephant) ретінде жазылады. Бұл жағдайда, фраза, сондай-ақ өмір сүре құқығы бар, тек Boolean алгебра ретінде анықтау «жираф мойнына емес,» «өтірік».

Барлық түскен өтініштер бірмәнді болуы тиіс, бірақ олар негізгі немесе күрделі болуы мүмкін. Соңғы пайдалану логикалық жинағы. бастауыш логикалық операцияларды қосу арқылы құрылған алгебра есептілігі үкімдері қосылыстар Е.

Boolean алгебра операциялар

логикалық - Біз қазірдің өзінде сот шешімдерінің алгебра операциялар екенін есте сақтаңыз. Тек, қосу, азайту, немесе сандарды салыстыру үшін арифметикалық амалдарды қолдана отырып сандар алгебра ретінде, математикалық логика элементтері, күрделі мәлімдеме жасауға бас тартуға немесе соңғы нәтижесін есептеп береді.

арифметика бізге таныс формуламен білдірді ресімдеудің және қарапайымдылық үшін логикалық операциялар. Boolean алгебра теңдеулер сипаттары мүмкіндік Unknown жазып және есептеу жеткізіңіз. Логикалық операциялар әдетте ақиқат кестеде ескеріледі. Оның элементтері оларға адресінен жүзеге асырылады бағандар және есептеу операция анықтау, және жолдар есептеулер нәтижесін көрсетеді.

іс-қимыл Негізгі логикалық

Boolean алгебра операцияларда ең көп тараған теріске (ЕМЕС), және логикалық және OR болып табылады. Сондықтан, бұл іс жүзінде алгебра пайымдаулар барлық қадамдарды сипаттауға болады. Біз егжей-тегжейлі үш операцияларының әрбір зерттелген.

терістеу (емес) тек бір элементі (операнд) қолданылады. Сондықтан, операция унарные теріске деп аталады. «Емес А» пайдалана отырып, осындай рәміздерді тұжырымдамасын жазу үшін: ¬A, немесе а !. кесте түрінде бұл ұқсайды:

Осындай есептің типтік бас тарту функциясы: A шын болса, онда A - жалған болып табылады. Мысалы, Ай Жердің айналасында айналады - шындықты; Жер Айдың айналасында айналады - өтірік.

Логикалық қосу және көбейту

Логикалық ЖӘНЕ операция шылау деп аталады. Бұл нені білдіреді? Біріншіден, бұл екі операндтар, яғни, мен үшін қолданылуы мүмкін, бұл - .. бинарлық операция. Екіншіден, ол тек екі операндтар (А және В екі) ақиқат жағдайда шынайы болып табылады және өрнек өзі болып табылады. мақал, «Төзім мен сәл күш» тек екі фактор адам қиындықтарды жеңе көмектесе алады деп болжайды.

рәміздер жазу үшін пайдаланылады: A∧B, A⋅B немесе А && B.

Бірлесіп арифметика көбейту ұқсас. Кейде мен айта - логикалық көбейту. Сіз кестенің жолдар элементтерін көбейту болса, біз логикалық ойлау ұқсас нәтиже алуға.

Дизъюнкция логикалық НЕМЕСЕ операция болып табылады. есептілігін кем дегенде бір (А немесе В, не) шын болса бұл шындық. A∨B, A + B немесе А || В: Бұл сияқты жазылған Осы операциялар үшін ақиқаттық кестелер болып табылады:

Дизъюнкция ұқсас арифметикалық қосу. 1 + 1 = 1: логикалық қосу операция тек бір шектеу бар. (- ақиқат, 0 - жалған, онда: 1) Бірақ біз сандық форматта математикалық логика 0 және 1 шектеулі екенін есте сақтаңыз. Мысалы, делінген «мұражайында сіз туындыларымен қараңыз немесе жақсы компания таба аласыз» сіз өнер туындылары көруге болады қандай білдіреді, және ол қызықты тұлғаны кездестіруге болады. Сонымен қатар, екі іс-шаралар бір мезгілде орындау мүмкіндігін жоққа шығармаймыз.

Функциялары мен заңдар

Сондықтан, біз қазірдің өзінде логикалық операция Буль алгебрасын пайдаланып не білеміз. Функциялар математикалық логика элементтері барлық қасиеттерін сипаттау, және бізге күрделі қосылыс есептілігін жеңілдетуге мүмкіндік береді. ең айқын және қарапайым туынды операцияларды бас тарту мүлікті көрінеді. туынды XOR, қатыстылығын және баламалылығын түсінікті. біз тек негізгі операциялармен оқыдым, содан кейін мүлікті тек оларды қарастыру, сондай-ақ болып табылады. сондай-ақ

Қауымдастық осындай «А және В ретінде есептілігін, және операндтар В» тізбегі тізіміне маңызды емес дегенді білдіреді. төмендегідей формула жазылған:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Өздеріңіз көріп отырғандай, бұл бірлесіп бірақ дизъюнкции бірегей емес.

Коммутативности бірлесіп немесе дизъюнкции нәтижесі басында қаралады, ол элемент байланысты емес бекітеді, бұл:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Дистрибутивности күрделі логикалық өрнектер жақшалар ақпаратты ашып көрсетуі мүмкіндік береді. Ереже алгебра көбейту және қосымша ашылу жақша ұқсас:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

операндтар бірі болуы мүмкін Unit қасиеттері мен скретч, сондай-ақ, нөлдік немесе бір алгебралық көбейту ұқсас, және блок қосу:

A∧0 = 0, A∧1 = А; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency салыстырмалы екі тең операндтар жұмыс нәтижесі бірдей болса, сіз артық күрделі ойлау операнда «лақтырып» мүмкін екенін айтады. Ал Біріктіру және дизъюнкция операциялар идемпотентное болып табылады.

B∧B = B; B∨B = B.

Сатып алу, сондай-ақ теңдеуді жеңілдетуге мүмкіндік береді. Сіңіру өрнек бір операнд қолданылады кезде, нәтиже операнд бірдей элементі бар басқа операция операция жұтып екенін мәлімдейді.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

операциялардың жүйелілігі

операциялардың жүйелілігі маңызы зор. Шын мәнінде, алгебра сияқты, булеву алгебра пайдаланатын басым функциясы бар. Формулалар операцияларды маңызы ғана жататын жеңілдетуге болады. елеусіз үшін ең маңызды рейтингі, біз мынадай дәйектілігі:

1. бас тарту.

2. бірлесіп.

3. дизъюнкция, XOR.

4. жанама, эквиваленттік.

Сіз, қараңыз бірлесіп тек терістеу және тең басымдыққа ие емес. отырғанымыздай дизъюнкции және XOR басымдық тең, сондай-ақ жанама және баламалылығын басымдықтары.

жанама және баламалылығын функциялары

біз негізгі логикалық операцияларды қоса, математикалық логика және туынды пайдалана алгоритмдер теориясы, айтқанымдай. Ол көбінесе жанама және эквиваленттік болып табылады.

Усыған немесе логикалық салдары - бір іс-әрекет шарты болып табылатын осы мәлімдеме, және басқа да - оны іске асыру нәтижесі. «Содан кейін, егер ...» сылтаумен Басқаша айтқанда, бұл ұсыныс. «Түстен кейін айтылғандарды келеді.» SLED төбеде күшейтілетін болады қозғаушы үшін Е.. бар таудан жылжыту жоқ тілегі, содан кейін SLED сүйреп Егер қажет емес. сондықтан жазылған: A → B немесе A⇒B.

Эквиваленттік таза әсері екі операнд ақиқат болғанда ғана туындайды деп болжайды. Мысалы, түнгі күннің горизонттан көтеріледі кезде, (содан кейін ғана және), содан кейін күні жол береді. Осы мәлімдемеде математикалық логика тілінде A≡B, A⇔B, А == В ретінде жазылған

Булевой алгебра Басқа заңдар

Алгебра сот шешімі әзірлейді, және көптеген мүдделі ғалымдар жаңа заңдар тұжырымдау. ең танымал болып саналады шотланд математик О. De Morgan постулаттары. Ол байқаған және жақын теріске, Сонымен қатар мен қос теріс сияқты қасиеттері анықтамасын берді.

емес (А немесе В) жоқ А немесе Б = ЕМЕС: Жабу бас тарту жақша ешкім жоққа алдында деп болжайды

операнд бас тартылған жағдайда, қарамастан оның құнының, қосу туралы былай дейді:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Және, соңында, қос теріске өзі өтейді. яғни операнд терістеу жоғалады немесе бір ғана қалады, не бұрын.

тест шешу қалай

Logic жеңілдету алдын ала белгіленген теңдеулерді көздейді. Тек Ли алгебра сияқты, ол барынша дұрыс жауап іздеп, одан кейін бастау (күрделі кіріс операцияларды арылып, және олармен алу үшін) бірінші шартты жеңілдету үшін қажет.

Қандай жеңілдету үшін не істеу керек? қарапайым операция барлық туынды түрлендіру. Содан кейін (осы элементті азайту үшін жақшаларды жасауға, немесе керісінше) барлық жақшаларды ашып. Келесі қадам тәжірибеде булевой алгебра қасиеттерін пайдалану болуы тиіс (сіңіру қасиеттері нөлдік және бір, және т.).

Сайып келгенде, теңдеу қарапайым операциялар ұштастыра белгісіз ең аз саны, тұруы тиіс. Сіз жақын теріс үлкен санын жасауға, егер шешім үшін іздеуге ең оңай жолы. Содан кейін жауап өзі егер ретінде пайда болады.