Белгісіз интеграл. Белгісіз интегралдарды есептеу

Математикалық талдаудың іргелі салаларының бірі - интегралды есептеу. Ол объектілердің ең кең өрісін қамтиды, онда бірінші белгісіз интеграл. Оны орналастыру үшін кілтке ұқсайды, тіпті жоғары мектепте жоғары математикамен сипатталатын перспективалар мен мүмкіндіктердің көбеюі байқалады.

Көрініс

Бір қарағанда, интеграл өте заманауи, өзекті болып көрінеді, ал іс жүзінде ол б.з. Отаны ресми түрде Египет деп есептеледі, өйткені біз оның бұрынғы дәлелдерін ала алмадық. Ол ақпараттың жетіспеуі салдарынан бұл уақыт феномен сияқты болды. Ол сол кездердегі халықтар арасында ғылымның даму деңгейін тағы бір рет растады. Соңында, ежелгі грек математиктерінің б.з.д. 4 ғасырға дейінгі шығармалары табылды. Олар анықталмаған интеграл қолданылған әдісті сипаттады, оның мәні қисық сызықтың көлемін немесе ауданын табу (үш өлшемді және екі өлшемді жазықтық) тиісінше. Есептеу принципі түпнұсқаны санының шексіз компоненттеріне бөлуіне негізделді, олардың көлемі (ауданы) бұрыннан белгілі болған жағдайда. Уақыт өте келе, архимед параболаның аумағын табу үшін оны қолданды. Сонымен қатар ұқсас есептерді ежелгі Қытайда ғалымдар жүргізді, сонымен бірге олар ғылымдағы грек бауырластарынан толығымен тәуелсіз болды.

Даму

XI ғасырдағы келесі серпіліс - арабтардың «әмбебап» Әбу Әли әл-Басрийдің жұмысы, ол белгілі болған нәрселердің шекарасын кеңейтіп, бірінші және төртінші қатардағы күштердің сомаларын есептеу үшін формулаларды интегралдау негізінде шығарып, Математикалық индукция әдісі.
Қазіргі заманғы ежелгі ежелгі ежелгі сәулет ескерткіштерін қандай да бір арнайы бейімдеуге жол бермегендіктен, өз қолдарынан басқа, сол уақытта ғалымдардың ақыл-ойының күші аз керемет емес пе? Қазіргі уақытқа қарағанда, олардың өмірі дерлік қарапайым болып көрінеді, бірақ белгісіз интегралдарды шешу барлық жерде пайда болды және практикада одан әрі даму үшін пайдаланылды.

Келесі қадам 16-шы ғасырда болған, итальяндық математик Кавальери бөлінбейтін әдісті шығарған кезде, оны Пьер Фермат қабылдайды. Қазіргі уақытта белгілі қазіргі заманғы интегралды есептеу үшін негіз қалаған бұл екі адам. Олар бұрын автономдық бірлік ретінде қабылданған дифференциация мен интеграция тұжырымдамаларын байланыстырды. Уақыт өте келе математика фрагменттелген, тұжырымдардың бөліктері шектеулі қолдану саласына ие болды. Біртұтастық жолын іздеу және ортақ жерді іздестіру жолы сол кездегі жалғыз дұрыс болды, оның арқасында қазіргі заманғы математикалық талдау өсіп, дамыды.

Уақыттың өтуімен, барлығы өзгерді және интегралдың тағайындалуы. Үлкенірек айтқанда, ол ғалымдарға сілтеме жасаған, мысалы, Ньютон квадрат белгісін пайдаланды, онда ол интеграцияланған функцияны қойды немесе оны жанына қойды. Бұл келіспеушілік XVII ғасырға дейін жалғасып, әйгілі ғалым Готфрид Лейбниц бізге математикалық талдаудың бүкіл теориясы үшін бізге жақсы таныс символды енгізді. Ұзартылған «S» шын мәнінде латын әліпбиінің осы хатына негізделген , өйткені ол антиподтардың сомасын білдіреді. Аты Джейкоб Бернулли 15 жылдан кейін интегралға берілді.

Ресми анықтама

Белгісіз интеграл тікелей антидивиативті анықтауға байланысты, сондықтан алдымен оны қарастырыңыз.

Қарабайыр - туындыға кері қайшы функция, іс жүзінде ол сондай-ақ қарабайыр деп аталады. Әйтпесе: d функциясының антидиативті функциясы D, оның туындысы v <=> V '= v. Антидеривативті іздеу - белгісіз интегралдың есептеуі және процестің өзі интеграция деп аталады.

Мысал:

Функциясы s (y) = y ³ және оның антидидеративті S (y) = (y 4/4).

Қарастырылып отырған функцияның барлық антидневитивтерінің жиынтығы белгісіз интеграл болып табылады, ол келесідей белгіленеді: ∫v (x) dx.

V (x) - бастапқы функцияның кейбір қарапайым түрі болғандықтан, бізде: ∫v (x) dx = V (x) + C, мұндағы C - тұрақты. Кез келген тұрақты тұрақты кез келген тұрақты деп түсініледі, өйткені оның туындысы нөлге тең.

Сипаттар

Белгісіз интегралды иеленетін қасиеттер туынды құралдардың негізгі анықтамасы мен қасиеттеріне негізделеді.
Негізгі мәселелерді қарастырайық:

• Антидервативті интегралдың өзі - антидивативті плюс ерікті тұрақты C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• Функцияның интегралының туындысы <=> (∫v (x) dx) '= v (x) бастапқы функциясы болып табылады;
• Тұрақты интегралдың белгісінен шығарылады ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, мұнда k еркін;
• Сомадан алынған интеграл интегралдарды <=> ∫ (v (y) + w (y)) сомасына бірдей, dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Соңғы екі қасиет бойынша шексіз интегралдың сызықты екендігі туралы қорытынды жасауға болады. Осы себепті бізде: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Бекіту үшін біз белгісіз интегралдарды шешу мысалдарын қарастырамыз.

∫ (3sinx + 4cosx) интегралын табу керек dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C

Мысалдан қорытынды жасауға болады: белгісіз интегралдарды қалай шешуге болатынын білмейсіз бе? Тек барлық мағыналы ойынды табыңыз! Төменде іздеудің негізгі қағидалары келтірілген.

Әдістері мен мысалдары

Интегралды шешу үшін келесі әдістерді қолдануға болады:

• Аяқталған кестені пайдаланыңыз;
• Бөлшектер бойынша біріктіру;
• Ауыспаны өзгерту арқылы біріктіру;
• Дифференциалды белгісі бойынша жинақтау.

Кестелер

Ең оңай және ең жағымды тәсілі. Қазіргі уақытта математикалық талдау өте кең масштабтармен мақтана алады, онда анықталмаған интегралдардың негізгі формулалары белгіленеді. Басқаша айтқанда, сізге және сіздің алдыңыздан алынған үлгілер бар, оларды пайдалану ғана қалады. Міне, негізгі кесте позицияларының тізімі, олардың әрқайсысының шешімі болуы мүмкін:

• ∫0dy = C, мұндағы C - тұрақты;
• ∫dy = y + C, мұндағы C - тұрақты;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1} ) / (n + 1) + C, мұндағы C - тұрақты, n - нөлге тең емес сан;
• ∫ (1 / у) dy = ln | y | + C, мұндағы C - тұрақты;
• ∫e ^y dy = e ^y + C, мұндағы C - тұрақты;
• ∫k ^y dy = (k ^y / ln k) + C, онда C - тұрақты;
• ∫cosydy = siny + C, мұндағы C - тұрақты;
• ∫синydy = -cosy + C, мұндағы C - тұрақты;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, мұндағы C - тұрақты;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, мұндағы C - тұрақты;
• ∫dy / (1 + y ² ) = arctgy + C, мұндағы C - тұрақты;
• ∫chydy = shy + C, онда C - тұрақты;
• ∫shydy = chy + C, онда C - тұрақты.

Қажет болса, бірнеше қадамдар жасаңыз, интегралды кесте көрінісіне келтіріп, жеңіске ие болыңыз. Мысал: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x sin (5x-2) + C

Шешім бойынша, кестенің мысалында интегралда 5 көбейткіші жоқ екені анық. Бұл жалпы көріністің өзгермеуі үшін параллель 1/5 көбейтіледі.

Бөлшектер бойынша интеграция

Екі функцияны қарастырайық - z (y) және x (y). Олар анықтаудың бүкіл аумағында үздіксіз саралануы керек. Дифференциялық қасиеттердің бірі бойынша бізде: d (xz) = xdz + zdx. Теңдеудің екі жағын біріктіру үшін біз: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Алынған теңдеуді қайта жазып, бөліктер бойынша интегралдау әдісін сипаттайтын формуланы аламыз: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Неге қажет? Кейбір мысалдар ∫zdx-ді ∫xdz-ге дейін жеңілдетуге мүмкіндік береді, егер ол соңғы кесте түріне жақын болса. Сондай-ақ, бұл формула оңтайлы нәтижеге жету үшін бірнеше рет қолданылуы мүмкін.

Белгісіз интегралдарды қалай шешуге болады:

• ∫ (s + 1) ^e2s ds есептеу керек

∫ (x + 1) e ^2s ds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e ^2s , dy = e ^2x ds} = ((s + 1) e ^2s ) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s ) / 2-e ^2s / 4 + C;

• ∫lnsds есептеп шығару керек

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Айнымалы ауыстыру

Белгісіз интегралдарды шешу принципі алдыңғы екіге қарағанда сұранысқа ие емес, бірақ ол күрделірек. Әдіс келесіден тұрады: V (x) - кейбір функциялардың (x) интегралы болсын. Егер мысалдағы интегралдың өзі күрделі болса, шатастырып, дұрыс емес жолмен жүрудің керемет мүмкіндігі бар. Бұған жол бермеу үшін, айнымалы x-дан z-ға көшу жүзеге асырылады, онда x-ның x-ге тәуелділігі сақталған кезде жалпы көрініс визуалды түрде жеңілдетіледі.

Математикалық тілде келесідей көрінеді: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y ^-1 (x)) мұнда x = y Z) - ауыстыру. Әрине, кері функция z = y ^-1 (x) айнымалылардың тәуелділігі мен өзара байланысын толық сипаттайды. Маңызды байқау болып табылады, бұл дифференциалдық dx міндетті түрде жаңа дифференциалдық dz ауыстырылады, өйткені белгісіз интегралдың айнымалыны ауыстыру оны тек қана интегралда емес, барлық жерлерде ауыстыруды білдіреді.

Мысал:

• ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds табуға болады

Біз z = (s + 1) / (s ² + 2s-5) ауыстыруын қолданамыз. Сонда dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Нәтижесінде біз төмендегі сөздерді аламыз: есептеу өте оңай:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• ∫2 ^s e ^s dx интегралын табу қажет

Шешім үшін келесі өрнектерді қайта жазамыз:

∫2 ^s e ^s ds = ∫ (2e) ^s ds.

A = 2e арқылы белгілейміз (дәлелді ауыстыру арқылы бұл қадам емес, ол әлі де болса), қарапайым интегралдың, қарапайым табуляциялық нысанға,

(2e) ^s ds = ∫a ^s ds = a ^s / lna + C = (2e) ^s / ln (2e) + C = 2 ^s e l / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e / (Ln2 + 1) + C.

Дифференциалды белгісімен сызу

Белгісіз интегралдардың бұл әдісі көбінесе ауыспалы принциптің егіз бауыры болып табылады, бірақ жобалау процесінде айырмашылықтар бар. Егжей-тегжейлі қарастырайық.

Егер ∫v (x) dx = V (x) + C және y = z (x) болса, онда ∫v (y) dy = V (y) + C

Сонымен қатар, тривиальды интегралдық өзгерістерді ұмытуға болмайды, оның ішінде:

• Dx = d (x + a), онда a - кез келген тұрақты;
• Dx = (1 / a) d (ax + b), онда a қайтадан тұрақты, бірақ нөлге тең емес;
• Xdx = 1 / 2d (x2 + b);
• Sinxdx = -d (cosx);
• Cosxdx = d (синх).

Егер белгісіз интегралды есептеу кезінде жалпы жағдайды қарастырсақ, онда мысалдар w '(x) dx = dw (x) жалпы формуласына дейін азайтылуы мүмкін.

Мысалдар:

• ∫ (2с + 3) ² дс, ds = 1 / 2d (2с + 3)

(2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ² ) / 3 + C = (1/6) X (2с + 3) ² + С;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Онлайн анықтама

Кейбір жағдайларда жалқау немесе шұғыл қажет болуы мүмкін кінәлі болса, онлайн кеңестерді қолдануға болады, немесе керісінше, белгісіз интегралдар калькуляторын қолдануға болады. Интегралдардың айқын күрделілігі мен қарама-қайшылықтарына қарамастан, оларды шешу «егер ... жоқ болса ...» қағидасына негізделген белгілі бір алгоритмге бағынады.

Әрине, мұндай калькуляторды игеруге болмайды, өйткені мұндай шешімді жасанды түрде табу керек болғандықтан, процестегі белгілі бір элементтерді «күшпен» енгізуге тура келеді, өйткені нәтиженің анық жолдары қол жеткізе алмайды. Осы мәлімдемеге қатысты барлық дау-дамайларға қарамастан, бұл шындық, өйткені математика негізінен дерексіз ғылым болып табылады және мүмкіндіктің шекараларын кеңейтудің негізгі міндетін қарастырады. Шынында да, қиындықсыз жұмыс істейтін теориялар бойынша қозғалу және дамыту өте қиын, сондықтан біз берген шексіз интегралдарды шешудің мысалдары мүмкіндіктің жоғарғы жағы деп санамаңыз. Алайда, мәселенің техникалық жағына қайта оралайық. Кем дегенде, есептеулерді тексеру үшін бізден бұрын жазылған қызметтерді пайдалануға болады. Егер күрделі өрнекті автоматты түрде есептеу қажеттілігі туындаса, оларды таратуға болмайды, сізге елеулі бағдарламалық жасақтамаға жүгіну керек болады. Ең алдымен MatLab ортасына назар аудару керек.

Қолданба

Белгісіз интегралдарды шешу бірінші көзқараста толықтай ажырасқан сияқты, өйткені айқын аппликация ұшақтарын көру қиын. Шынында да, оларды кез-келген жерде тікелей қолдануға болмайды, бірақ олар іс жүзінде қолданылатын шешімдерді қабылдау процесінде міндетті түрде аралық элемент болып саналады. Осылайша, интегралдау кері дифференциалданған, ол теңдеулерді шешу үдерісіне белсенді қатысады.
Өз кезегінде, бұл теңдеулер механикалық есептерді шешуге, траектория және жылу өткізгіштігін есептеуге тікелей әсер етеді - бір сөзбен айтқанда, болашақты қалыптастыратын және болашақты қалыптастыратын барлық нәрсе. Жоғарыда қарастырылған мысалдардың белгісіз интегралы жаңа көзқарастарды көбірек алудың негізі болғандықтан, тек бір көзқараста тек тривиальды болып табылады.