Фурье қатары: ғылымды дамыту математикалық механизмін тарихы мен әсері

Фурье қатары - бұл көрініс өз бетiнше қатарынан кезеңімен функцияларды таңдаған. Жалпы алғанда, бұл шешім ортогоналды негізінде кеңейту элементі деп аталады. Фурье қатарына функцияларын кеңейту интеграция, саралау, сондай-ақ дәлел білдіру және свертки жылы ауысымда трансформация қасиеттеріне байланысты әртүрлі мәселелерді шешу үшін өте қуатты құрал болып табылады.

Жоғары математика таныс, сондай-ақ француз ғалымы Фурье еңбектерімен болып табылмайтын тұлғаға, ең алдымен, қандай «шендер» және олар мұны түсіну емес. Дегенмен осы трансформация өте берік біздің өмірімізді енгізіледі. Ол математика, сонымен қатар физиктер, химиктер, дәрігерлер, Астрономия, сейсмологтардың, океанографы және басқаларды ғана емес пайдаланылады. АҚШ-тың, сондай-ақ алда оның уақыт, жаңалық ашты ұлы француз ғалымы туындыларының тығыз қарастырайық.

Адам және Фурье түрлендіру

Фурье қатары (талдау және басқалармен қатар) әдістерінің бірі болып табылады Фурье. Бұл процесс адам кез келген дыбысты естиді сайын орын алады. Біздің құлақ автоматты түрде түрлендіреді дыбыс толқынын. серпімді ортада элементар бөлшектер тербелмелі қозғалысы сериясы (спектрін) түрлі биіктерге өңіне қатарынан көлемі маңызы кеңейіп келеді. Келесі, ми біз үшін таныс дыбыстар осы деректерді түрлендіреді. Осының бәрі біздің тілегі немесе сана өзі қосымша болып табылады, бірақ тәртіппен жоғары математика оқуға бірнеше жыл қажет процестерді түсіну үшін.

Фурье туралы көбірек біліңіз түрлендіру

Фурье талдамалық, сандар мен басқа да әдістері жүзеге асырылуы мүмкін түрлендіруге. Фурье қатары кез келген тербелмелі процестер ыдырау сандық процесс болып табылады - жарық мұхит толуы мен толқындар күн циклдар (және өзге де астрономиялық нысандар) үшін қызмет. Осы математикалық әдістерін пайдалана отырып, максимум және керісінше минимум өту синусоидалы компоненттерін бірқатар кез келген тербелмелі процестер білдіретін, функциясын бөлшектеуге болады. Фурье түрлендіру нақты жиілікке сәйкес келетін синусоиданың фазалық және амплитудасы сипаттайтын функциясы болып табылады. Бұл процесс жылу, жарық немесе электр энергиясының әсерінен болып жатқан динамикалық процестерді сипаттау өте күрделі теңдеулерді шешу үшін қолдануға болады. Сондай-ақ, Фурье қатары мүмкін дұрыс медицина, химия және астрономия эксперименттік бақылаулар түсіндіру қабылдау, күрделі пішіні жылы DC компоненттерін ажырата үшін пайдаланылады.

тарихи ақпарат

Бұл теорияның негізін қалаушы әкесі Француз математигі Жан Batist Zhozef Fure болып табылады. Оның есімі кейінірек және осы трансформация деп аталатын болды. қатты денелердің жылу таралу - Бастапқыда, ғалымдар жылу өткізгіштігінің механизмдерін зерттеу және түсіндіру үшін техниканы пайдаланды. Фурье жылу толқын бастапқы бұрыс тарату, оның температурасы ең төмен және ең, сондай-ақ оның сатысына ие болады, олардың әрқайсысы, қарапайым синусоиданың ыдырайтын болады деп ұсынды. ең жоғары және керісінше минимум өлшенген болуы Осылайша әрбір осындай компонент. қисық жоғарғы және төменгі шыңдарды, сондай-ақ әрбір гармоника фазасын сипаттайды математикалық функция, Фурье білдіру температура қайта бөлу деп аталады. бірқатар өңдеуге өте оңай математикалық сипаттау қиын төмендетілген жалпы функцияларын бөлу теориясы, авторы мерзімді функцияларын бастапқы бөлу бере мөлшерінде, синусын және косинусын.

айырбастау және замандастарының пікір принципі

ғалымның замандастары - тоғызыншы ғасырдың басында жетекші математиктері - бұл теорияны қабылдамады. Негізгі қарсылық ол үздіксіз болып синусоидалы өрнектерді сомасы ретінде ұсынылуы мүмкін, түзу сызықты немесе қисық сипаттайтын жарғыш функциясы жыртық екенін Фурье бекіту болды. Мысал ретінде, бір «қадам» Heaviside қарастыру: оның мәні алшақтықты және оң жақтағымен сол нөлге тең болады. Бұл функция жабу тізбегі уақыт айнымалы электр тогының тәуелділігін сипаттайды. жарғыш өрнек осындай экспоненциалды, синусын, сызықты немесе квадраттық ретінде үздіксіз, ортақ функциялар, комбинациясы сипатталады болады, мысалы, жағдайды, тап ешқашан сол уақытта қазіргі заманғы теориясы.

Қандай Фурье теориясы француз математиктері алаңдаушылық?

математик шексіз Тригонометриялық Фурье қатары жиынтықтау, содан кейін, дау құқығы болды, егер кейін барлық, ол ұқсас қадамдардың жиынтығын бар болса да, білдіру қадамға дәл өкілдігін алуға болады. тоғызыншы ғасырдың басында, бұл мәлімдеме абсурд көрінді. Бірақ, барлық күмән қарамастан, көптеген математиктер жылу зерттеулер тыс оны жылжыту, осы құбылыстың зерттеу аясын кеңейтті. Алайда, ғалымдардың көпшілігі сұрақ шегеді жалғастырды: «? Синусоидальный сериясы сомасы жарғыш функциясы дәл мәніне шелер аламын»

Фурье қатарларының жинақталуының: мысал

жақындастыру мәселесі сіз сандардың шексіз сериялы қосылыс түзу ерекшілігі қажет сайын көтеріледі. Бұл құбылыстың түсіну үшін классикалық мысалды қарастырайық. әрбір қадам жартысы алдыңғы болса Сіз бір кездері, қабырғаны жетуі мүмкін? Егер сіз мақсатқа екі метр, жақын айналасындағы жарты жолына алғашқы қадам, келесі болып табылады делік - үш-төрттен белгісі, және бесінші кейін, сіз жолда дерлік 97 пайызын еңсеруге болады. Алайда, ешқандай мәселе сіз қатаң математикалық мағынада жетеді де, арналған мақсатты Қолынан қанша қадамдар. сандық есептеулерді пайдалана отырып, біз соңында еркін шағын берілген қашықтықта жақын болуы мүмкін дәлелдеуге болады. Бұл сондықтан жалпы жартысынан құны, төрттен бір, және бұл көрсететін дәлелі тең. E. бірлігі бейім болады.

жақындастыру мәселесі: екінші келе жатқан, немесе лорд Кельвин құралы

Бірнеше рет мәселе Фурье қатары Ebbs және ағындарының қарқындылығын болжау үшін пайдалануға тырысты кезде, тоғызыншы ғасырдың соңында пайда болды. Сол уақытта, лорд Кельвин құрылғы матростар Navy және теңіз сауда монитор табиғи құбылыс болып табылады рұқсат аналогтық компьютер ойлап тапты. мұқият жыл бойы айлақ өлшенеді фазалардың және толуы және тиісті уақыт сәттердің үстел биіктігі амплитудасы Бұл механизм белгіленген. Әрбір параметр синусоидалды компоненті өрнек судың биіктігі болып табылады және тұрақты құрамдас бірі болды. өлшеу нәтижелері келесі жылдың функциясы ретінде су биіктігі болжамды қисық синтездеу, есептеуіш құрылғысының лорд Кельвин кіріс болып табылады. Көп ұзамай, осы қисық әлемнің барлық порттар үшін тартылды.

Ал егер процесс үзікті функцияны сынған болады?

Сол уақытта, ол шотқа көптеген элементтері бар, дауылы болжау құрылғы амплитудасы және фазасы үлкен санын есептеу, және, осылайша, неғұрлым дәл болжау қамтамасыз ете алады деп айқын көрінді. Дегенмен, бұл үлгісі синтезделген болады Жайылма өрнек, күрт секіріс қамтылған жағдайларда байқалады емес екенін шықты, яғни, жарғыш болып табылады. аппарат уақым кездерінің кестеде деректерді енгізу үшін, бұл жағдайда, ол бірнеше Фурье коэффициенттері есептейді. (Табылған коэффициенттері сәйкес) синусоидалды компоненті есебінен бастапқы функциясын қалпына келтіру. түпнұсқа және қайта білдіру арасындағы сәйкессіздік кез келген нүктесінде өлшеуге болады. Қашан қайталау есептеулер мен салыстырулар ең қате мәні төмендейді емес екенін көруге болады. Алайда, олар нүктеге дейiн алшақтықты тиісті аймақтағы жерсіндірілген, және кез келген басқа да нүкте нөлге ұмтылады отыр. 1899 жылы, бұл нәтиже Йель университетінің теориялық Ешуа Уиллард Гиббс расталды.

Фурье қатарларының жинақталуының және тұтастай алғанда математика дамыту

Фурье талдау белгілі бір аралықта шығарындылар шексіз санын қамтитын өрнектерді қатысты қолданылмайды. бастапқы функциясы нақты физикалық өлшеу нәтижесінде ұсынылған болса, Жалпы Фурье қатарына, әрқашан жиынында. функцияларын нақты сабақтарға арналған осы процестің жинақталу Сұрақтар осындай жалпылама функцияларын теориясы ретінде математика жаңа салаларын, алып келді. Бұл, мысалы, Шварц, J .. Mikusiński және J. Temple ретінде есімдері байланысты. Бұл теория бойынша, мұндай білдіру үшін анық және нақты теориялық негізі Дирак дельта функциясы ретінде құрылды (ол нүктенің шексіз маңында шоғырланған бір ауданның аймақты сипаттайды) және «қадам» Heaviside. нүктелік заряд, нүкте массасы, магниттік еңістігінің және сәуленің бойынша шоғырланған жүктеме: Бұл жұмыс Фурье арқылы интуитивті ұғымдар тарту теңдеулерді және мәселелерді шешу үшін қолданылатын болды.

Фурье әдісі

Фурье қатары, араласу принциптеріне сәйкес, қарапайым ішіне күрделі нысандарын ыдырау басталады. Мысалы жылу түрлі кедергілерді арқылы байланысты оның өтуіне жылу ағынының, өзгеріс бұрыс пішінді оқшаулағыш материалдардан немесе жер беті өзгерту - жер сілкінісі, Аспан денелерінің орбитада өзгеруі - планеталардың ықпалы. Әдетте, бұл теңдеулер әрбір жеке толқын ұзындығы үшін шешілуі қарапайым классикалық жүйесі бастауыш сипаттайтын. Фурье қарапайым шешімдер неғұрлым күрделі тапсырмаларды орындау үшін, сондай қорытындылады болады деп көрсетті. математика тілінде, Фурье қатары - синусын және косинусын толқындар - гармоникалық білдіру сомасы ұсыну үшін әдістемесі. Сондықтан, бұл талдау, сондай-ақ атауы «гармоникалық талдау» бойынша белгілі.

Фурье қатары - «компьютерлік жасына» үшін тамаша тәсілі

компьютерлік технологиялар Фурье әдісін құру дейін біздің әлемнің толқыны табиғатпен жұмыс ғалымдардың арсеналында үздік қару болып табылады. кешенді түрінде Фурье қатары сіз ғана емес, механика Ньютонның заңдары тікелей қолдану көнбейтін қарапайым мәселелерді, сондай-ақ іргелі теңдеулер шешуге мүмкіндік береді. ХІХ ғасырдың Ньютондық ғылым жаңалықтардың көпшілігі тек салдарынан Фурье әдісі арқасында мүмкін болды.

Фурье қатарына бүгін

Фурье дамыту түрлендіру компьютерлер жаңа деңгейге көтерілді. Бұл техника берік ғылым мен техниканың барлық дерлік салаларында орнықты. Мысалы, сандық аудио және бейне ретінде. Оны жүзеге асыру тоғызыншы ғасырдың басында француз математигі әзірлеген теориясы ғана арқасында мүмкін болды. Осылайша, кешенді түрінде Фурье қатары ғарыш кеңістігін зерттеу серпіліс жасауға мүмкіндік берді. Сонымен қатар, ол жартылай өткізгіш материалдар мен плазма физика зерттеу, микротолқынды акустикасын, океанографии, радар, сейсмология әсер етті.

Тригонометриялық Фурье қатары

математика, Фурье сериясы қарапайым сомасы ретінде еркін күрделі функцияларды білдіретін бір жолы болып табылады. Жалпы жағдайда, өрнектерді саны шексіз болуы мүмкін. есептеу есептеледі саны көп, дәлірек қорытынды нәтижесі алынды. қарапайым тригонометриялық косинусын немесе синус функциясының ең көп таралған пайдалану. Бұл жағдайда, Фурье қатары тригонометриялық деп аталады, және осындай өрнектерді шешімі - гармоникалық ыдырау. Бұл әдіс математика маңызды рөл атқарады. тригонометриялық қатарлар бейнесі, сондай-ақ функцияларды зерттеу үшін қаражат қамтамасыз Біріншіден, ол теориясының негізгі бірлігі болып табылады. Сонымен қатар, ол бізге математикалық физика бірқатар проблемаларды шешуге мүмкіндік береді. Соңында, бұл теория дамуына үлес қосты математикалық талдау, ол математикалық ғылым (интегралдарды теориясы, мерзімді функциялар теориясы) өте маңызды салаларының саны ұлғая берді. мынадай дамыту үшін Сонымен қатар, нүктесі жиынтықтар,: теориялар нақты айнымалы функцияларды, функционалдық талдау, сондай-ақ гармоникалық талдау үшін негіз қалады.