Нақты сандар және олардың қасиеттері

Пифагордың айтуынша, бұл сан әлемнің негізіне негізгі элементтермен қатар келеді. Платон пайымдауынша, бұл сан құбылысты және нуманонды байланыстырып, қорытынды жасауға, өлшеуге және қорытынды жасауға көмектеседі. Арифметика «арифмос» сөзінен шыққан - сан, басталуы математикадан басталды. Ним кез-келген нысанды - қарапайым алмадан дерексіз кеңістіктерге дейін сипаттай алады.

Даму факторы ретінде қажет

Қоғамның қалыптасуының бастапқы кезеңдерінде халықтың мұқтаждықтары - бір қапшық асты, екі қапшық астық және басқалар. Бұл үшін табиғи сандар жеткілікті болды, олардың жиынтығы N бүтін сандардың шексіз оң тізбегі болып табылады.

Кейінірек, математиканы ғылым ретінде дамыта отырып, Z-бүтін сандардың жеке өрісіне қажеттілік пайда болды - ол теріс мөлшерді және нөлді қамтиды. Үй шаруашылық деңгейінде оның пайда болуы бастапқы шоттар бөлімінде қарыздар мен ысыраптарды түзетуге тура келді. Ғылыми деңгейде теріс сандар қарапайым сызықты теңдеулерді шешуге мүмкіндік берді . Өзге нәрселердің қатарында енді бастапқы нүкте пайда болғандықтан, тривиалды координат жүйесін көрсету мүмкін болды.

Келесі қадам фракциялық сандарды енгізу қажеттілігі болды, өйткені ғылым әлі де тұрмаған, жаңадан ашылған жаңалықтар жаңа өсудің теориялық негізін талап етті. Осылайша, ұтымды сандардың өрісі пайда болды.

Ақыр соңында, ұтымдылық сұранысты қанағаттандырудан бас тартты, өйткені барлық жаңа тұжырымдар ақтауды талап етті. Нақты сандар R өрісі пайда болды, Евклид олардың иррационалдылығы салдарынан белгілі бір шамалардың сәйкессіздігіне қатысты жұмыс істеді. Яғни, ежелгі грек математиктері бұл санды тек қана тұрақты емес, сонымен қатар дерексіз мән ретінде белгілеп қойды, бұл теңдестірілмейтін мөлшердің қатынасына тән. Нақты сандар пайда болғандықтан, «пи» және «е» сияқты «құндылықтар» «жарық көрді», қазіргі заманғы математика болмаған еді.

Соңғы инновация күрделі сан болды . Ол бірқатар сұрақтарға жауап берді және бұрын енгізілген постулаттарды жоққа шығарды. Алгебра қарқынды дамуына байланысты нәтиже болжамды болды - нақты сандар, көп мәселелерді шешу мүмкін болмады. Мысалы, күрделі сандар, жолдар мен хаос теорияларының арқасында гидродинамикалық теңдеулер кеңейтілген.

Топтамалардың теориясы. Кантор

Әрқашан шексіздік тұжырымдамасы даулы болып келеді, өйткені оны дәлелдеуге немесе растауға болмайды. Математика контекстінде, қатаң тексерілген постулаттармен жұмыс істеген, бұл ең айқын көрінді, әсіресе, теологиялық аспект әлі ғылымда салмақ болғандықтан.

Дегенмен, математик Джордж Cantor жұмысының арқасында уақыт өткеннен кейін бәрі орын алды. Ол шексіз жинақтардың шексіз жиынтығы бар екенін, ал R өрісі N өрісінен үлкен екендігін дәлелдеді, екеуінің де аяғы жоқ. ХІХ ғасырдың ортасында оның идеялары классикалық, шешілмейтін заңдарға қарсы делирия және қылмыс деп аталды, бірақ уақыттың бәрін өз орнына қойды.

Р өрісінің негізгі қасиеттері

Нағыз сандар олардың құрамына кіретін, сонымен қатар өз элементтерінің салмағына байланысты басқалармен толықтырылған суб-миссиялар сияқты қасиеттерге ие:

• Нөл бар және R. c + 0 = c өрісіне жатады.
• Нөл бар және R. cx 0 = 0 өрісіне жатады.
• C ≠ 0 d ≠ 0 қатынасы бар және кез-келген c, d үшін R.
• R өрісі тапсырыс берілді, яғни егер c ≤ d, d ≤ c болса, онда c = d кез келген c, d үшін R.
• Р өрісіне коммутативті, яғни c + d = d + c кез келген c, d үшін R.
• Р өрісіндегі көбейту коммутатив болып табылады, яғни cx d = dx c кез келген c, d үшін R.
• R өрісіне ассоциативті, яғни (c + d) + f = c + (d + f) кез келген c, d, f үшін R.
• R өрісіндегі көбейту қауымдастық болып табылады, яғни R. кез келген c, d, f үшін (c x d) x f = c x (d x f).
• R өрісінен шыққан әрбір сан үшін керісінше бар, бұл c + (-c) = 0, мұндағы c, -c, R.
• R өрісіндегі әрбір сан үшін кері сан бар, бұл c x c ^-1 = 1, мұндағы c, c ^-1 R.
• Бірлік бар және R тиесілі, сондықтан cx 1 = c, кез келген c үшін R.
• Бөлу заңы сақталады, сондықтан cx (d + f) = c x d + cx f кез келген c, d, f үшін R.
• R өрісінде бір нөл тең емес.
• R өрісі өтпелі: егер c ≤ d, d ≤ f болса, онда c ≤ f кез келген c, d, f үшін R.
• Р өрісінде тәртібі мен қосылыстары өзара байланысты: егер c ≤ d, онда c + f ≤ d + f кез келген c, d, f үшін R.
• Р өрісінде тәртібі мен көбейту өзара байланысты: егер 0 ≤ c, 0 ≤ d болса, онда 0 ≤ c x d кез келген c, d R үшін.
• Теріс және оң сандардың екеуі де үздіксіз болып табылады, яғни кез келген c, d үшін R-ге f бар, бұл c ≤ f ≤ d.

R өрісіндегі модуль

Нақты сандар модуль сияқты нәрсені қамтиды. Ол f | | деп аталады Кез келген f үшін R. | f | = F, егер 0 ≤ f және | f | болса = -f if 0> f. Егер модульді геометриялық мән деп қарастыратын болсақ, ол жүріп өткен қашықтықты білдіреді - егер сіз «минуспен» немесе «плюске» алға жылжып жатсаңыз маңызды емес.

Кешен және нақты сандар. Қандай жалпы және айырмашылық қандай?

Ірі және күрделі сандар бір-бірімен ерекшеленеді, тек біреуі -1 болатын квадрат -1 деп саналатын мнимый бірлік. R және C өрістерінің элементтері келесі формула ретінде ұсынылуы мүмкін:

• C = d + f x i, мұнда d, f R өрісіне жатады, ал i - мнимый бірлік.

Бұл жағдайда R-дан алу үшін f тек нөлге тең деп саналады, яғни санның нақты бөлігі ғана қалады. Себебі күрделі сандар өрісі нақты сандар өрісі сияқты бірдей қасиеттер жиынына ие болса, f x i = 0, егер f = 0 болса.

Практикалық айырмашылықтарға қатысты, мысалы, R өрісінде дискриминант теріс болса, шаршы теңдеу шешілмейді, ал С өрісі қиялдағы модуль i енгізілуіне байланысты мұндай шектеуді енгізбейді.

Нәтижелері

Математика негізделген аксиомалар мен постулаттардың «кірпіштері» өзгермейді. Олардың кейбіреулері ақпараттың көбеюіне және жаңа теориялардың енгізілуіне байланысты келесі «кірпіштерді» орнатады, бұл болашақта келесі қадамға негіз болады. Мысалы, табиғи сандар R нақты өрісінің жиынтығына қарамастан, олардың өзектілігін жоғалтпайды. Оларға барлық қарапайым арифметика негізделген, ол әлемнің адамының танымынан басталады.

Практикалық тұрғыдан нақты сандар түзу сызыққа ұқсас. Онда сіз бағытты таңдай аласыз, шыққан жерін және қадамын көрсете аласыз. Сызық шексіз сандардан тұрады, олардың әрқайсысы рационалды не болмаса бір нақты нөмірге сәйкес келеді. Сипаттамадан түсінікті, біз математиканы жалпы алғанда, математикалық талдауды , сонымен қатар, математикалық талдауды жасау туралы тұжырымдамыз туралы айтып отырмыз.