Расселл парадокс: негізгі ақпарат, мысалдар, тұжырымдау

Рассел парадокс екі өзара логикалық антиномиясы болып табылады.

Расселл парадокс Екі нысандары

логикалық жиындарда қайшылықтар жиі талқыланды нысаны. жиынтығы Кейбір мүшелері өздері және басқалар болып көрінеді - жоқ. барлық комплект жиынтығы жиынтығы өзі болып табылады, сондықтан ол өзіне жатады, бұл, меніңше. Null немесе бос, алайда, өзі мүшесі болмауы тиіс. Сондықтан, нөлге тең деп барлық комплект жиынтығы, өзіне енгізілген жоқ. парадокс өзі мүшесі жиынтығы ма кезде сұрақ туындайды. Бұл егер мүмкін және бұл емес, тек егер.

Тағы бір нысаны парадокс қасиеттері туралы қайшылық болып табылады. басқалары болып табылмайтын, ал кейбір қасиеттері, өздері қараңыз ұқсайды. меншік мысық, ол болуы, ал мүліктік өзі жататын мүліктің, мүліктік болып емес. Оның тиесілі емес мүліктері бар мүлкін қарастырайық. ол өзі қолданылады, егер? Тағы да, жорамалдарды кез келген қарама-қарсы болуы тиіс. парадокс 1901 жылы оны тауып Бертран Рассел (1872-1970) құрметіне аталды.

әңгіме

Ашылуы Рассел «Математика негіздері», оның жұмыс барысында орын алды. ол өз бетінше парадокс ашты да, Ernst Zermelo және қоса алғанда жиынтығы теориясы, басқа математиктер мен әзірлеушілер дәлелдемелер бар, бұл Дэвид Гильберт және Оның алдында қайшылықтарды бірінші нұсқасы хабардар болды. Рассел, алайда, бірінші шешімдерді және толық өз маңызын бағалай бірінші тұжырымдау тырысты, егжей-тегжейлі оның жарияланған жұмыстарға парадокс талқыланды кім бірінші болып. «Принциптері» тұтас тарау осы мәселені талқылауға арналды, және қолдану Рассел ерітіндісі ретінде ұсынылған түрлері теориясы, арналды.

Рассел кез келген жиынтығы электр оның подмножеств жиынтығы аз дейді Кантор ның жиынтығы теориясын ескере отырып, өтірікші туралы «парадокс» ашты. оған элементтер бар, өйткені әрбір элементтің бірі Ішкі жиын тек осы элементі бар орнатылған болса, кем дегенде доменінде, сондай-ақ көптеген подмножества болуы тиіс. Сонымен қатар, канторовых элементтер саны подмножеств санына тең болуы мүмкін емес екенін дәлелдеді. сол саны бар болса, бұл олардың подмножествах элементтерін көрсету еді ƒ мүмкіндікті бар еді. Сонымен қатар, бұл мүмкін емес екенін дәлелдеуге болады. басқалары мүмкін емес, ал кейбір заттар, оларды қамтитын функциясы ƒ подмножествах көрсетілуі мүмкін.

олар ƒ көрсету онда олардың бейнелерін, тиесілі емес элементтердің жиынды қарастырайық. Бұл элементтер жиыны өзі болып табылады, және сондықтан, ƒ функциясы домендегі элементі оны көрсету еді. Мәселе, содан кейін сұрақ бұл элемент, ол ƒ көрсетеді, ол үшін ішкі жиынына тиесілі ма, сондай-ақ пайда болып табылады. ол тиесілі емес болса ғана мүмкін болып табылады. Расселл парадокс ғана оңайлатылған, пайымдау сол сызықтың үлгісі ретінде қарастыруға болады. көп қандай - жиынтығы жиынтығы немесе кiшi жиынтықтары? Орнатады өздері барлық подмножеств ретінде көп жинақтары, онда болуы тиіс, бұл көрінуі еді. Канторовых теоремасы шынайы болса, онда одан кiшi жиынтықтары бар болуы тиіс. Рассел жай өздері туралы жиындарын көрсетуге және олар көрсетіледі, онда жиынтығы тыс, барлық осы элементтер жиынтығы ескере kantoriansky тәсіл қолданылады қарастырылады. Расселл көрсететін барлық комплект жиынтығы, емес айналады.

қате Фреге

«Өтірікші парадокс» жинақтарын теориясының тарихи дамуы туралы терең әсер етті. Ол көптеген әмбебап тұжырымдамасы жоғары проблемалық екенін көрсетті. Ол сондай-ақ әр анықталған жай-күйі немесе предикат үшін осы шарттарды ана аттандыратын заттарды көптеген болуын болжауға болады, бұл ұғым күмән. нұсқа жиындар үшін табиғи жалғасы - - қасиеттері қатысты Таңдауы парадокс ол мүлікті мақсаты болуымен немесе әмбебап жай-күйі анықталады әрбір сәйкестігін немесе предикат туралы дау болады ма, сондай-ақ елеулі күмән көтерді.

Көп ұзамай логикасы жұмысына қайшылықтар мен проблемалар, осыған ұқсас жорамалдар жасады философтар мен математиктер табылған. ХХ ғасыр - 1902 жылы, Рассел парадокс нұсқасы GOTTLOB Фреге-ның «арифметика негіздері» I том әзірленген логикалық жүйесін, ХІХ ғасырдың соңы логикасы бойынша негізгі жұмыстар бірінде білдірді болады деп тапты. Фреге философиясы жылы көптеген «кеңейту» немесе «мән-диапазоны» тұжырымдамасы ретінде түсінген. ұғымдар байланысатын сол жақын болып табылады. Олар кез-келген шартты немесе предикат үшін бар деп күтілуде. Осылайша, оның анықтайтын тұжырымдамасын астында құлап емес жиынтығы, тұжырымдамасы бар. Онда осы тұжырымдамасын айқындаған сыныпқа сондай-ақ болып табылады, және ол емес, тек егер оның тұжырымдамасын анықтау жатады.

Рассел Сырттай ең қызықты бірі болып және логика тарихында туралы айтқан маусым 1902 Бұл қақтығыс туралы Фреге үшін жазды. Фреге дереу парадокс апатты салдарын танылған. Ол философия қасиеттерін қатысты келіспеушілік нұсқасы деңгейдегі ұғымдардың арасындағы бөлінуі шешілді, алайда, бұл атап өтті.

Фреге ның ұғымы TRUE үшін функцияның аргументтері көшу ретінде түсінді. Екінші деңгейдегі ұғымдардың нысандар, сондықтан осы функцияларды дәлел ретінде қабылдайды және дәлел ретінде қабылдауға ұғымдар бірінші деңгейі. Осылайша, тұжырымдамасы аргумент ретінде өзін қабылдауға ешқашан мүмкін, мен қасиеттері тұрғысынан парадокс тұжырымдалған мүмкін емес. Дегенмен кеңейту немесе Фреге барлық басқа объектілер сияқты бірдей логикалық түріне сілтеме ретінде түсінген ұғымдар, орнатады. Содан кейін әр жиыны үшін оны анықтайтын тұжырымдамасын түссе ма сұрақ бар.

Фреге, Рассел бірінші хат алған кезде, «арифметика негіздері» екінші көлемі қазірдің өзінде Басып шығару аяқталды. Ол тез Расселл парадокс үшін жауап береді өтінішті дайындау мәжбүр болды. Мысалдары Фреге ықтимал шешімдерді бірқатар қамтылған. Бірақ ол логикалық жүйеде абстракция жиынтығы тұжырымдамасын әлсіретуге қорытындыға келді.

түпнұсқа, ол объект, егер көптеген тиесілі және ол тұжырымдамасы шеңберінде құлайды болса ғана, ол анықтайды. жасасуға, бұл мүмкін болды қаралған жүйесі тек объект, егер көптеген тиесілі екенін және ол көптеген құратын ұғымына түсіп, тек егер, бірақ сұраққа орнатылған емес қорытынды жасауға болады. Расселл парадокс туындайды.

шешім, алайда, Фреге толығымен қанағаттандырылды емес. Және бұл себеп болды. Бірнеше жыл өткен соң, қайшылықтар көп күрделі нысаны қаралған жүйесін табылған болатын. Бұл ақталды тіпті бұрын Бірақ, Фреге оның шешімдерін, тастанды және оның көзқарас жай жарамсыз болды деген қорытындыға келіп, меніңше, және бұл логикалық жиынтығының кез жоқ істеу керек болады.

Тағы біреулер, салыстырмалы неғұрлым табысты баламалы шешімдерді ұсынылды. Бұл төменде келтірілген.

түрлерін теориясы

Ол Фреге парадокс үшін барабар жауап екенін жоғарыда атап өтілді жиынтығы теориясының қасиеттері тұжырымдалған нұсқасы. Фреге жауабы парадокс осы түрінде ең жиі талқыланды шешу алдында. Бұл қасиеттері әр түрлі түрлері жатады және мүлікті қандай түрі, онда айтылатын элементтер бірдей ешқашан екендігіне негізделген.

Осылайша, тіпті сұрақ меншік өзіне қолданылатын болып табылады ма, туындайды. түрлері теориясын пайдалана отырып, осындай иерархия элементтерін бөліп логикалық тілі. ол қазірдің өзінде Фреге, ол толық «қағидаты» қосымшада түсіндіріледі және Расселл негізделген бірінші рет пайдаланылады, дегенмен. түрлерін теориясы Фреге деңгейдегі үздік астам толық болды. Ол қасиеттері логика түрлі түрлері ғана емес, сонымен қатар орнату бөлісті. Расселл парадокс мынадай кезіндегі қарама-қайшылықты шешу үшін теориясын теріңіз.

олар өздері қолданылуы мүмкін емес, сондықтан түсіндіре алар еді, сондықтан философиялық барабар болуы үшін, қасиеттерін түрлерінің теориясы қабылдау қасиеттерін сипаттағы теориясының дамуын талап етеді. Бір қарағанда, бұл өз мүлкін предикатный мағынасы. өзін-өзі жеке басын куәландыратын болып мүліктік, ол сондай-ақ өзін-өзі жеке басын куәландыратын болып, көрінген еді. меншік жақсы жағымды болып көрінеді. Сол сияқты, шамасы, ол мысық болып табылатын мүліктік мысық екенін айтуға жалған көрінеді.

Дегенмен, әр түрлі ойшылдар әр түрлі бөлу ақтап. Рассел тіпті өз мансабын әр уақытта әр түрлі түсініктеме берді. Өз тарапынан, Фреге деңгейдегі түрлі ұғымдарды бөлу негіздемесі қанықпаған ұғымдардың оның теориясы шыққан. функциясы ретінде ұғымдар, мәні, толық емес болып табылады. мәні қамтамасыз ету үшін, олар дәлел қажет. ол әлі өз дәлел талап, себебі Сіз тек бір ұғым, бір типті тұжырымдамасын предикатный мүмкін емес. бұл санның квадрат түбірін квадрат түбірін алуға болады, дегенмен, мысалы, сіз жай ғана шаршы түбір функциясына шаршы түбір функциясын қолдану және нәтиже алу мүмкін емес.

консерватизм қасиеттері туралы

Тағы бір мүмкін шешім кез келген жағдайында парадокс қасиеттері теріске қасиеттері болуы, немесе сондай-ақ құрылған предикат болып табылады. біреу тұтастай объективті және тәуелсіз элементтердің де метафизикалық қасиеттерін айыптаған, егер біз nominalism парадокс қабылдауға Әрине, егер, толығымен болдырмауға болады.

Алайда, Антиномий шешу үшін, сондықтан төтенше болуы міндетті емес. Logic тәртібін жоғары жүйелер қарамастан, мысалы меншік немесе тұжырымдамасын бөлігі ретінде формуланы сәйкес ғана элементтерді бар қалай күрделі әрбір ашық формулалар, оған сәйкес, тұжырымдамалық принципі деп аталатын бар, Фреге және Расселл дамыған. Олар қарамастан, олар қаншалықты күрделі, жағдайлары немесе предикатов әрбір ықтимал жиынтығын атрибуттары қолданылады.

Дегенмен, ол осындай т.б. қызыл түсті, қаттылығын, мейірімділік және, мысалы, оның ішінде қарапайым қасиеттері, объективті өмір сүру құқығын бере отырып, неғұрлым қатаң метафизика қасиеттерін алуға болатын еді. Д. Сіз тіпті осы қасиеттері өздері қолданылады мүмкіндік алады, мұндай мейірімділік сияқты болады мейірімді болуға.

Ал күрделі атрибуттарының үшін бірдей мәртебесі мысалы, бас тартылуы мүмкін, он жеті-басшылары бар астында-су-жазылады және сол сияқты, мұндай «қасиеттері». Бұл жағдайда D., ешқандай алдын ала белгіленген жағдайы мүлікті сай емес, бөлек түсінген өз қасиеттері бар қолданыстағы элементі. Осылайша бір емес қолданбалы болуы мүліктік-деп--үшін-өзін қарапайым қасиеттерін жоққа және одан консервативтік метафизикалық қасиеттерін қолдану арқылы парадокс болдырмауға болады.

Расселл парадокс: ерітіндісі

ол өз өмірінің Фреге соңында толық жиынтығының логикасын тастанды атап өтілді жоғарыда. жинақтарын түрінде Антиномий Бұл, әрине, бір шешім: тұтастай сияқты элементтердің болуымен қарапайым бас тарту. Сонымен қатар, басқа да танымал таңдау бар, негіздері төменде көрсетілген.

көптеген түрлері үшін теориясы

Жоғарыда айтылғандай, Рассел әр түрлі қасиеттерін немесе ұғымдар ғана емес, ортақ, сонымен қатар орнату еді түрлерін толық теориясы, ойнады. .. жиынтықтары - Рассел объектілерді жиынтығы қаралған жоқ және т.б. жекелеген бөлiмшелерден көптеген, жеке объектілердің көптеген жинақтарын, орнатылған, және көптеген жинақтарын бөлісті. Көп сіз өзі мүшесі ретінде бар мүмкіндік береді, түрін ләззат ешқашан. Сондықтан, ол мүшесі болып табылады ма туралы мәселелерді кез келген жиыны үшін, өзі бұзу түрі болып табылады, өйткені, өз мүшелері болып табылмайтын барлық комплект жоқ жиынтығы бар. Тағы да, бұл жерде мәселе түрлері бөлудің философиялық негіздерін түсіндіруге метафизика жиынтықтарын түсіндіру болып табылады.

стратификация

1937 жылы В. В. Kuayn түрлерін теориясы ұқсас жолмен, балама шешім ұсынды. Бұл туралы негізгі ақпарат болып табылады.

элементі жинақтарын және басқа да бөліп. а көптеген табу болжам әрқашан дұрыс немесе мағынасыз екенін, сондықтан жасалған. олардың жағдайын анықтау бұзу түрі болмаған кезде Жинақтар ғана берілуі мүмкін. Осылайша, Куайн үшін, өрнек «X X мүшесі болып табылмайтын» мағыналы делінген осы шартты қанағаттандыратын барлық элементтері х жиынтығы болуын дегенді білдірмейді болып табылады.

және ол қабатты болса ғана, T, егер осы жүйеде жиынтығы кейбір ашық формуласы A бар. E. айнымалылар айнымалы айнымалы кішірек тағайындау бірлігін тағайындалған оны алдындағы көптеген әр тән пайда болу сияқты, бұл оң бүтін тағайындалған болса, Оның кейін мынадай. Бұл блоктар Расселл парадокс, проблема жиынын анықтау үшін пайдаланылатын формуланы бастап, сол ол unstratified қабылдау айнымалы мүшелік белгісі алдында және кейін бар.

Бірақ бұл Куайн дәйекті «математикалық логика жаңа негіздері» деп аталатын нәтижесінде жүйесін, анықтау үшін әлі бар.

қабыл алмау

Френкель (ZF) - мүлдем басқа көзқарас Zermelo теориясы қабылданады. Мұнда да, жиындар болуымен шектеу орнату. Оның орнына, бастапқыда барлық ұғымдар, қасиеттері, немесе шарттар осы сипат барлық заттарды жиынтығы болуын ұсына алады немесе ZF-теориясы, мұндай шартты қанағаттандыру үшін, бәрі басталады деп ойлаған Рассел және Фреге, «жоғары-төмен» жақындап «төменнен жоғары».

бос жиынтығы жеке элементтері мен жиынтығы құрайды. Сондықтан, бұрын жүйелер мен Рассел Фреге АТФ айырмашылығы барлық элементтері, тіпті барлық қондырғысын қамтиды көптеген әмбебап тиесілі емес. ZF жиындар болуымен қатаң шектеулер белгілейді. ғана ол анық постулировал немесе итерациялық процестерді және ұқсас арқылы тұжырымдалған болуы мүмкін, ол үшін өмір сүре алады. D.

Содан кейін, оның орнына, егер белгілі бір элементі жиынтығы енгізілген екенін және ол DF, бөлу немесе «сұрыптау» пайдаланылатын бөлу принципіне шарттарға сай болса ғана делінген тұжырымдама абстракция аңғалдық жиынтығы. Оның орнына белгілі бір шартты қанағаттандыратын қоспағанда барлық элементтерінің жиынтығы болуын болжайтын, әр қолданыстағы теру үшін Aussonderung шартты қанағаттандыратын бастапқы жиынтығы барлық элементтердің ішкі болуын көрсетеді.

Содан кейін абстракция принципі келіп: жиынтығы A бар, егер біз жай ғана болжай алмаймыз, өйткені бұл тәсіл, парадокс Рассел шешеді және тек х қанағаттандырады жағдайы C. егер болса, онда, А барлық х үшін, х шартты қанағаттандыратын Ішкі жиын А, тиесілі бұл, өздері мүшелері болып табылмайтын барлық жиынтығының жиынтығы болып табылады.

жиынтықтар көп отырып, сіз таңдаңыз немесе бөлуге оны өздері болып табылады жиындар, ішіне, сондай-ақ осындай болып табылмайтын адамдарға, бірақ біз барлық комплект жиынын байланысты болмаса, ешқандай әмбебап жиынтығы бар, өйткені болады. мәселені жорамал жоқ Рассел қайшылық дәлелденген мүмкін емес орнатады.

басқа шешімдер

Сонымен қатар, мұндай «Математика негіздері» атты Fork-түрі теориясы ретінде осы шешімдерді кейіннен кеңейтімдері немесе түрлендірулер, жүйе кеңейту «математикалық логика» Куайн, сондай-ақ көптеген теориясы көп соңғы оқиғалар болды, Бернайса, Геделя және фон Нейман құрады. Бертран Рассел табылған ерімейтін парадокс жауап мәселе, әлі күнге дейін даулы мәселе болып табылады.